Digital Signal Processor
看！是一名铁驭，我们有救了！！！
参考陈后金老师中国大学MOOC上的PPT资料。
chapter 1 信号与系统回顾
所有的信号变换最基本的原理都是信号的表示。
信号分析
连续信号
时域表示
频域表示
S域表示
离散信号
时域表示
频域表示
Z域表示
系统分析
连续系统
时域表示
频域表示
S域表示
离散系统
时域表示
频域表示
Z域表示
chapter 2 信号分析
离散信号分析
基本信号
基本信号：脉冲、阶跃、指数、虚指、正弦、矩形。
通过基本信号和基本运算可以实现复杂信号的表示，同时也是信号频域与复频域分析的基本载体。（详情可参照$Fourier$变换）
有关基本信号的相关表示不多做概述，
注意好虚指数信号与正弦信号通过$Euler$公式建立起的关系即可，需要注意对正弦型信号是否为周期信号的判断。
基本运算
基本运算：翻转、位移、**内插、抽取**、卷积、相关
抽取
$$
x_{D}[k]=x[Mk] \\
M为正整数
$$
在原序列中每M个点（即每隔M-1个点）抽取一点（坐标会发生改变）。
注意：0点不动。
相当于对离散信号进行压缩！！！
内插
$$
x_{L}[k]=\left{\begin{matrix}
x[k/L] & k为L的整数倍 \\
0 & 其它
\end{matrix}\right.
$$
在原序列中各点之间插入L-1个点。
注意：0点不动。
相当于对离散信号进行扩展！！！
卷积
详见信号与系统。
相关
$$
互相关：R_{xy}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]y[k+n] \\
自相关：R_{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]x[k+n]
$$
**相关运算可以等价为卷积运算**。
$$
R_{xy}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]y[k+n]=x[-n]*y[n]
$$
互相关函数具有对称性：
$$
R_{xy}[n]=R_{yx}[-n]
$$
离散系统分析
线性系统
同时具有均匀特性与叠加特性的系统。
$$
T{ax_{1}[k]+bx_{2}[k]}=aT{x_{1}[k]}+bT{x_{2}[k]}
$$
非时变系统
我习惯叫时不变系统。
输入延时的时候输出相应地延时相同的单位。
$$
if \enspace x[k]→y[k],\enspace then\enspace x[k-n]→y[k-n]
$$
因果系统
系统的输出相应不超前于系统的输入信号。
稳定系统
系统对任意的有界输入其输出也有界。
离散信号的频域分析
从时域上分析部分信号时有困难，故考虑从频域上分析信号。
离散周期信号的DFS表示
周期为N的任意周期序列$\tilde{x}$可以用$N$个虚指数序列表示。
$$
\tilde{x}[k]=\frac{1}{N}\tilde{X}[m]e^{j\Omega_{0}mk} \\
\Omega_{0}=\frac{2\pi}{N}
$$
不同的序列对应的加权系数是唯一的。
我们将这个加权序列称为这个离散周期信号的频谱。
IDFS
$$
\tilde{x}[k]=\frac{1}{N}\tilde{X}[m]e^{j\Omega_{0}mk}
$$
DFS
$$
\tilde{X}[m]=\sum^{N-1}{k=0}\tilde{x}[k]e^{j\Omega{0}mk}=|\tilde{X}[m]|e^{j\varphi |m|}
$$
其中$|\tilde{X}[m]|$为幅度频谱，$\varphi |m|$为相位频谱。
离散周期信号的DFS性质
线性特性
不多赘述
位移特性
只看一个周期内的即可（可以框一个框代表一个周期观察移出去的和移进来的）
时域的位移和频域的相移对应。
对称特性
$$
\tilde{x}^{}[k]\longleftrightarrow \tilde{X}^{}[-m] \\
\tilde{x}^{}[-k]\longleftrightarrow \tilde{X}^{}[m]
$$
若x为实序列，则有
$$
\tilde{X}[m]=\tilde{X}^{*}[-m]
$$
幅度谱偶对称，相位谱奇对称。
实部偶对称，虚部奇对称。
周期卷积特性
时域周期卷积定理
$$
\tilde{x}{1}[k]*\tilde{x}{2}[k]=\tilde{X}{1}[m]·\tilde{X}{2}[m]
$$
频域周期卷积定理
$$
\tilde{x}{1}[k]·\tilde{x}{2}[k]=\frac{1}{N}\tilde{X}{1}[m]*\tilde{X}{2}[m]
$$
即：
时域卷积对应频域乘积，时域乘积对应周期卷积。
周期卷积定义：
$$
\tilde{x}{1}[k]*\tilde{x}{2}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}{1}[n]\tilde{x}{2}[k-n]
$$
周期卷积是两个等周期的周期序列的卷积运算。
相关遇见你是了可以等价为卷积运算。
离散非周期信号的频域表示
离散非周期序列表达为：
$$
x[k]=\frac{1}{2\pi}\int_{<2\pi>}X(e^{j\Omega})·e^{j\Omega k}d\Omega
$$
其中$X(e^{j\Omega})$称为非周期信号的频谱。
IDTFT
$$
x[k]=\frac{1}{2\pi}\int_{<2\pi>}X(e^{j\Omega})·e^{j\Omega k}d\Omega
$$
DTFT
$$
X(e^{j\Omega})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{j\Omega k}
$$
频谱的特点
1.连续。
2.周期为2$\pi$。
离散时间傅里叶变换的性质
线性特性
略
对称特性
和连续一样，略
位移特性
时域的时移对应频域的相移
时域的相移对应频域的频移
卷积特性
时域的卷积对应频域的乘积
时域的乘积对应频域的卷积
Parseval定理
时域能量等于频域能量
公式略，懒了。
离散LTI系统的频域分析
非周期序列通过LTI系统的频率响应
周期序列通过LTI系统的频率响应
理想数字滤波器
滤波器也是一种系统
低通滤波器
低通可以描述其他三种滤波器。
高通滤波器
带通滤波器
可以看成两个低通滤波器之差。
带阻滤波器
离线信号的复频域分析
双边Z变换
单边Z变换只能描述因果系统，故引入双边Z变换
注意收敛域
有限长序列的双边Z变换
右边序列的双边Z变换
左边序列的双边Z变换
双边序列的双边Z变换
双边Z变换的性质请注意位移特性
全通数字滤波器
相位响应单调递减
幅度响应恒为1（1阶和m阶均恒为1）
m阶全通滤波器的零极点成对出现，且互为倒数且共轭
且m阶实系数全通系统可以分解为m个1阶全通系统的级联。
m阶实系数全通滤波器的相位响应为m个1阶全通滤波器的相位响应之和，非正且递减。
最小相位系统
系统函数的零点和极点都在z平面单位圆内的因果系统都叫最小相位系统。
记为$H_{min}(Z)$
特性：在具有相同扶贫特性的同阶系统中，最小相位系统具有最大的相位，最小的延时。
实系数的因果稳定系统$H(Z)$都可以表示为
$$
H(Z)=H_{min}(z)A_{m}(z)
$$
信号的时域抽样
针对连续信号进行离散化处理。
信号的抽样与信号的重建。
时域抽样定理
如果$x[k]$是$x(t)$的等间隔抽样，则$x[k]$的频谱是$x(t)$的p频谱的周期化。
本质：时域的离散化导致频域的周期化。
chapter 2 习题
chapter 3 离散傅里叶变换
有限长序列傅里叶分析
只能求离散周期信号的频谱，想办法建立连续非周期信号、连续周期信号、离散非周期信号与离散周期信号的关系。
时域周期化对应频域离散化。
DFT和IDFT实际上就是DFS在周期上的取值。
$$
W_{N}^{mk}=e^{j\frac{2\pi}{N}mk}
$$
离散傅里叶变换性质
线性特性
循环位移特性
对称特性
循环卷积定理
注意循环卷积和线性卷积之间的关系.
DFT计算线性卷积
用FFT计算
DFT分析信号频谱
混叠现象
泄露现象
chapter 3 习题
chapter 4 快速傅里叶变换FFT
略
chapter 4 习题
chapter 5 IIR数字滤波器的设计
模拟滤波器的技术指标要求
通带截止频率
阻带截止频率
通带波动
阻带波动
其中把波动转换成衰减的dB值，即最大衰减和最小衰减
衰减函数和增益函数
Butterworth型
设计步骤：
①确定你模拟滤波器的阶数N
②确定模拟滤波器的3dB截频
③计算模拟滤波器的系统函数极点
④得到系统函数
ChebyshevⅠ型
设计步骤：
①由通带截频$\omega_{p}$确定$\omega_{c}$
②由通带衰减$A_{p}$确定$\varepsilon $
③有通带阻带指标确定$N$
④求极点
⑤由极点确定系统函数。
Chebyshev Ⅱ型
设计步骤：
①由阻带截频$\omega_{s}$确定$\omega_{c}$
②由阻带衰减$A_{s}$确定$\varepsilon $
③有通带阻带指标确定$N$
④求极点
⑤由极点确定系统函数。
结论
BW最容易实现
椭圆不易实现
低通设计高通、带通、带阻
模拟高通滤波器
模拟带通滤波器
模拟带阻滤波器
数字滤波器的设计
将模拟滤波器转换为数字滤波器，此处介绍方法
脉冲响应不变法
只能设计低通和带通！！！
频谱混叠不可避免
设计步骤：
1.转换频率指标
2.设计模拟滤波器系统函数
3.系统函数转换
双线性变换法
设计步骤：
1.转换频率指标
2.设计模拟滤波器系统函数
3.系统函数转换
chapter 5 习题
chapter 6 FIR数字滤波器的设计
线性相位系统的充要条件
严格线性相位系统的相位函数满足
广义线性相位系统值相位满足特定形式
常用广义线性相位
线性相位系统的时域特性
Ⅰ型：偶对称，M偶数
Ⅱ型：偶对称，M奇数
Ⅲ型：奇对称，M偶数
Ⅳ型：奇对称，M奇数
线性相位系统的频域特性
Ⅰ型$(h[k]=h[M-k]),M为偶数$：
$H(e^{j\Omega})=e^{-j0.5M\Omega}A(\Omega)$
设计低通、高通、带通、带阻
Ⅱ型$(h[k]=h[M-k]),M为奇数$
$H(e^{j\Omega})=e^{-j0.5M\Omega}A(\Omega)$
不能设计高通、带阻
Ⅲ型$(h[k]=-h[M-k]),M为偶数$：
$H(e^{j\Omega})=e^{-(j0.5M\Omega-0.5\pi)}A(\Omega)$
不能设计低通、高通、带阻
Ⅳ型$(h[k]=-h[M-k]),M为奇数$：
$H(e^{j\Omega})=e^{-(j0.5M\Omega-0.5\pi)}A(\Omega)$
不能设计低通
总结如下：
线性相位系统的零点分布
零点以共轭成对出现
窗函数法
1.确定类型（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ）和幅度函数
2.由类型确定相位
3.通过IDTFT求解$h_{d}[k]$
4.加窗截短
窗函数的选择
矩形窗
加权窗
可调窗
频率取样法
chapter 6 习题
chapter 7 数字滤波器的结构
IIR数字滤波器的直接型结构
类似于信号与系统中的结构框图
直接Ⅰ型结构
直接Ⅱ型结构
转置直接Ⅱ型结构
三阶以上的IIR一般不用直接型结构。
